Laplaciano coordenadas cilindricas

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas se emplean cuando el objeto de estudio que describe una trayectoria o su forma geométrica son cilíndricas, para deducir estas coordenadas partimos de las coordenadas cartesianas.

Tomada de Teoría electromagnética Hayt, Buck, Cordero.

 Sí Observamos la figura  podemos obtener las relaciones geométricas para realizar el cambio de coordenadas, tomemos una función $\psi$.

 \begin{align} \psi &= x\hat{a}_x+y\hat{a}_y+z\hat{a}_z \label{eqn:psi} \end{align} \begin{align} x &= \rho\cos\phi, & y &= \rho\sin\phi, & z &= z \label{eqn:esf} \end{align}

Reemplazando las variables x, y, z en la ecuación $\psi$. 

\begin{align} \psi &= \rho\cos\phi \hat{a}_x+\rho\sin\phi \hat{a}_y+z\hat{a}_z \label{eqn:psi1} \end{align} 

Ahora para pasar la base unitarias cartesiana a una base unitaria cilíndrica debemos recordar la definición de vector unitario $b=\frac{B}{|B|}$, para obtener la base propia de las coordenadas esféricas $\hat{a}_{\rho},\hat{a}_\phi,\hat{a}_z$.

 Luego si observamos la figura  podemos observar que hay una contribución diferencial en la componente $\phi$ y $\rho$ sobre $\psi$. 

\begin{align*} \hat{a}_\rho &=\displaystyle \frac{\frac{\partial \psi}{\partial \rho}}{\left|\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\right|}, & \hat{a}_\phi &= \frac{ \frac{\partial \psi}{\partial \phi}}{\left| \frac{\partial \psi}{\partial \phi}\right|}, & \hat{a}_z&= \hat{a}_z \end{align*}

Derivando parcialmente nuestra función $psi$ tenemos:

Derivada parcial respecto $\rho$. 

\begin{align*} \hat{a}_\rho &=\displaystyle \frac{\frac{\partial \psi}{\partial \rho}}{\left|\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\right|}, & \frac{\partial \psi}{\partial \rho}&= \cos\phi \hat{a}_x+\sin\phi \hat{a}_y, & \displaystyle \left|\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\right|&= \sqrt{\cos^2\phi +\sin^2\phi }=1\\ \hat{a}_\rho &= \cos\phi \hat{a}_x+\sin\phi \hat{a}_y \end{align*} Derivada parcial respecto $\phi$. \begin{align*} \hat{a}_\phi &=\displaystyle \frac{\frac{\partial \psi}{\partial \phi}}{\left|\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\right|}, & \frac{\partial \psi}{\partial \phi}&= -\rho\sin\phi \hat{a}_x+\rho\cos\phi \hat{a}_y, & \displaystyle \left|\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\right|&= \sqrt{\rho^2\sin^2\phi +\rho^2\cos^2\phi }=\rho\\ \hat{a}_\phi &= -\sin\phi \hat{a}_x+\cos\phi \hat{a}_y \end{align*}

 Reemplazando $\hat{a}_\phi, \hat{a}_\rho$ en ec $\psi$: \begin{align} \psi &= \rho \hat{a}_\rho+z\hat{a}_z \end{align} 

Para obtener el gradiente de $\psi$ en coordenadas cilíndricas se plantea dos sistemas de ecuaciones, donde se hará uso de la matriz inversa para realizar el cambio de base de la definición de gradiente en coordenadas cartesianas.

Tomando el primer sistema a partir de las bases unitarias cilíndricas.

\begin{align*}\begin{matrix}\hat{a}_\rho =& \cos\phi\hat{a}_x+\sin\phi \hat{a}_y\\ \hat{a}_\phi =& -\sin\phi\hat{a}_x+\cos\phi\hat{a}_y\end{matrix}\\ \end{align*} 

Expresando el sistemas de ec.1 de forma matricial tenemos:

 \begin{align} \begin{split}\underbrace{\left(\begin{matrix} \hat{a}_\rho \\ \hat{a}_\phi \end{matrix}\right)}_{b}&= \underbrace{\left(\begin{matrix} \cos\phi & sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{matrix}\right)}_{A} \underbrace{\left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \end{matrix}\right)}_{X} \end{split} \end{align}

Luego solucionando este sistema de ecuaciones por el método de matriz inversa $X=A^{-1}b$, sabemos que la inversa de una matriz es $A^{-1}=\frac{adj(A)^{t}}{\left |A \right |}$, donde $adj_{ij}=(-1)^{i+j}\left |A_{ij} \right |$.

Haciendo cada una de estas operaciones sobre la matriz $A$, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.

 \begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{a}_\rho \\ \hat{a}_\phi \end{matrix}\right) \end{split} \end{align} Sabemos del calculo que la derivada de una función de varias variables como lo es $\psi(r)$: \begin{align} \begin{split} \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \rho}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \rho}+\frac{\partial \psi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \rho}\\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi}=\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \rho}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \phi}+\frac{\partial \psi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \phi} \end{split} \end{align} 

Ahora  planteamos otro sistema de ecuaciones que se resolver por el método ya explicado, obteniendo: 

\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial \rho} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi & sin\phi \\ -\rho\sin\phi & \rho\cos\phi \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}

 Luego la solución a este sistema de ecuaciones esta dado como: 

\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi & \frac{-\sin\phi}{\rho} \\ \sin\phi & \frac{\cos\phi}{\rho} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial \rho} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}

Retomando la definición de gradiente en coordenadas cartesianas (blog Laplaciano coordenadas cartesianas) se reemplazan los valores para las derivadas parciales y las bases de forma cartesiana, por tanto reescribiendo la que describe tenemos:

\begin{multline*} \nabla \psi = (\hat{a}_\rho \cos\phi-\hat{a}_\phi \sin\phi) \left[\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\cos\phi -\frac{\partial \psi}{\partial\phi}\frac{\sin\phi}{\rho}\right]+(\hat{a}_\rho\sin\phi+\hat{a}_\phi\cos\phi)\left[\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\sin\phi +\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\cos\phi}{\rho}\right]\\+\frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z \end{multline*} \begin{multline*} \nabla \psi = \hat{a}_\rho \cos^{2}\phi\frac{\partial \psi}{\partial \rho}-{\hat{a}_\rho \cos\phi\frac{\sin\phi}{\rho} \frac{\partial \psi}{\partial\phi}} {-\hat{a}_\phi \sin\phi\cos\phi\frac{\partial \psi}{\partial\rho}}+\hat{a}_\phi\frac{\sin^{2}\phi}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial\phi}+\\ \hat{a}_\rho\sin^{2}\phi\frac{\partial \psi}{\partial\rho}+{\hat{a}_\rho\sin\phi\frac{\cos\phi}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}}+{\hat{a}_\phi \sin\phi\cos\phi\frac{\partial \psi}{\partial\rho}}+ \hat{a}_\phi\frac{\cos^{2}\phi}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \phi} +\frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z \end{multline*} 

Agrupando y aplicando la propiedad trigonométrica $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ obtenemos que el gradiente en coordenadas cilíndricas es: 

\begin{align} \nabla \psi &=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\hat{a}_\rho+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\hat{a}_\phi+ \frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z \end{align}

Partiendo del gradiente en coordenadas esféricas y de la definición de laplaciano (blog L.c.cartesianas) tenemos entonces que:

 \begin{align}\nabla \cdot \nabla \psi&=\hat{a}_\rho\frac{\partial \nabla \psi}{\partial \rho}+\hat{a}_\phi\frac{1}{\rho}\frac{\partial \nabla \psi}{\partial \phi}+ \hat{a}_z \frac{\partial \nabla \psi}{\partial z}\end{align}

Expandiendo el producto punto y realizando las operaciones de derivación obtenemos.

\begin{multline} =\hat{a}_\rho\left[\hat{a}_\rho\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\rho }{\partial \rho \partial \rho} +\frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial \rho \partial \phi}+ \hat{a}_z\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho \partial z} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_z }{\partial \rho \partial z}\right]+\\ \frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\left[\hat{a}_\rho\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi \partial \rho}+\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_\rho} }{\partial \rho{\partial \phi}} +\frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial \phi \partial \phi}+ \hat{a}_z\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi \partial z} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_z }{\partial \phi \partial z}\right]\\+ \hat{a}_z\left[\hat{a}_\rho\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z\partial \rho}+\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\rho }{\partial z \partial \rho} +\frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial z \partial \phi}+ \hat{a}_z\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_z }{\partial z \partial z}\right] \end{multline} 

Realizando cada producto punto entre las bases unitarias y calculando las derivadas parciales de cada una de las bases unitarias en coordenadas cilíndricas y posteriormente reemplazando en la expresión anterior, se obtiene una simplificación significativa, ya que por delta de Kronecker se hacen cero algunos términos.

 \begin{align*} \frac{\partial \hat{a}_\rho }{\partial \rho}&= 0 & {\frac{\partial \hat{a}_\rho }{\partial \phi}}&= -\sin\phi+\cos\phi =\hat{a}_\phi & \frac{\partial \hat{a}_\rho }{\partial z}&= 0\\ \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \rho}&= 0, & \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \phi}&= -\cos\phi-\sin\phi=-\hat{a}_\rho & \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial z}&= 0\\ \frac{\partial \hat{a}_z }{\partial \rho}&= 0, & \frac{\partial \hat{a}_z }{\partial \phi}&= 0 & \frac{\partial \hat{a}_z }{\partial z}&= 0 \end{align*}

 Luego de simplificar aplicando propiedades obtenemos el laplaciano en coordenadas cilíndricas: \begin{align} \begin{split} \nabla^{2}\psi &= \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho^{2}} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial \psi}{\partial z^2}\\ \nabla^{2}\psi &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left[\frac{\rho\partial \psi}{\partial \rho}\right]+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial \psi}{\partial z^2}\\ \end{split} \end{align}

Esta ultima expresión se obtiene al deshacer la derivada parcial respecto de rho.
 

Referencias

Hayt, W. H., Buck, J. A., & Pedraza, C. R. C. (2006). Teoría electromagnética. McGraw-Hill.
  $\LaTeX$