Laplaciano coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas es un caso más general ya que tiene en cuenta las contribuciones angulares azimutuales al momento de describir los movimientos. Para deducir el sistema de coordenadas partimos del sistema de coordenadas cilíndrico haciendo la proyección de un vector $\rho$ en el plano z igual cero. \begin{align} \psi = \rho \cos\phi\hat{a}_x+\rho\sin\phi\hat{a}_y+z\hat{a}_z \end{align} luego las componentes del vector $r$ se pueden expresar como: \begin{align*} \sin\theta&=\frac{\rho}{r} \rightarrow \rho=r\sin\theta\\ \cos\theta&=\frac{z}{r} \rightarrow z=r\cos\theta \end{align*} Reescribiendo la ecuacion de posición en coordenadas esféricas obtenemos: \begin{align} \psi &= r\sin\theta\cos\phi\hat{a}_x+r\sin\theta\sin\phi\hat{a}_y+r\cos\theta\hat{a}_z \end{align} Siguiendo el mismo procedimiento que en las bases cilíndricas obtenemos: \begin{align} \begin{split} \hat{a}_r&=\sin\theta\cos\phi\hat{a}_x+\sin\theta\sin\phi\hat{a}_y+\cos\theta\hat{a}_z\\ \hat{a}_\phi&=-\sin\phi\hat{a}_x+\cos\phi\hat{a}_y\\ \hat{a}_\theta&=\cos\theta\cos\phi\hat{a}_x+\cos\theta\sin\phi-\sin\theta\hat{a}_z \end{split} \end{align} Luego obtenemos nuestro sistema de ecuaciones para las bases unitarias en coordenadas esféricas. \begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\phi \\ \hat{a}_\theta \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos \phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\ -\sin\phi &\cos\phi&0\\ \cos\theta\cos\phi &\cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{matrix}\right) \end{split} \end{align} Luego la solución al sistema de ecuaciones de bases por el método de la inversa es: \begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi\sin\theta &\sin\phi &\cos\theta\cos\phi\\ \sin\phi\sin\theta &\cos\phi &\cos\theta\sin\phi\\ \cos\theta &0 &-\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\phi \\ \hat{a}_\theta \end{matrix}\right) \end{split} \end{align} Siguiendo el mismo esquema de trabajo que en el blog de coordenadas cilíndricas obtenemos otro sistema de ecuaciones de orden tres. Nuestro sistema de ecuaciones de derivadas parciales: \begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial r} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi}\\ \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\ -r\sin\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi&0\\ r\cos\theta\cos\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align} Por tanto la solución a este sistema de derivadas parciales es: \begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y}\\ \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos\phi&-\frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}&\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\\ \sin\theta\sin\phi & \frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}&\frac{1}{r}\sin\phi\cos\theta\\ \cos\theta&0&-\frac{1}{r}\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial r} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align} Ahora reemplazando en la definición de gradiente para coordenadas cartesianas obtenemos: \begin{multline*} \nabla \psi =(\cos\phi\sin\theta\hat{a}_r-\sin\phi\hat{a}_\phi+\cos\theta\cos\phi\hat{a}_\theta)\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}\sin\theta\cos\phi-\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\right]\\+ (\sin\phi\sin\theta\hat{a}_r +\cos\phi\hat{a}_\phi+\cos\theta\sin\phi\hat{a}_\theta)\left[\frac{\partial \psi}{\partial r} \sin\theta\sin\phi +\frac{\partial \psi}{\partial \phi} \frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{1}{r}\sin\phi\cos\theta\right]\\+(\cos\theta\hat{a}_r-\sin\theta\hat{a}_\theta)\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}\cos\theta-\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{1}{r}\sin\theta \right] \end{multline*} \begin{multline*} \nabla \psi =(\cos\phi^{2}\sin^{2}\theta+\sin^{2}\phi\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\hat{a}_r+({\sin\theta\cos\phi\sin\phi}-{\sin\theta\cos\phi\sin\phi})\hat{a}_\phi+\\ ({\cos^{2}\phi\cos\theta\sin\theta}+{\sin^{2}\sin\theta\cos\theta}-{\cos\theta\sin\theta})\hat{a}_\theta)\frac{\partial \psi}{\partial r}+ \left(\left({\frac{1}{r}\cos\phi\sin\phi}-{\frac{1}{r}\cos\phi\sin\phi}\right)\hat{a}_r\\ +\left(\frac{1}{r}\frac{\sin^{2}}{\sin\theta}+\frac{1}{r}\frac{\cos^{2}}{\sin\theta}\right) \hat{a}_\phi+\left({\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cos\phi\sin\phi}-{\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cos\phi\sin\phi})\hat{a}_\theta\right)\frac{\partial \psi}{\partial \phi} +\\(({\frac{1}{r}\cos^{2}\phi\cos\theta\sin\theta+\frac{1}{r}\sin^{2}\phi\cos\theta\sin\theta}-{\cos\theta\sin\theta}\right)\hat{a}_r+\left({\frac{1}{r}\cos\phi\sin\theta\cos\theta}-{\frac{1}{r}\cos\phi\sin\theta\cos\theta} \right)\hat{a}_\phi+ \left(\frac{1}{r}\cos^{2}\phi\cos^{2}\theta+\frac{1}{r}\sin^{2}\phi\cos^{2}\theta+\frac{1}{r}\sin^{2}\theta \right)\hat{a}_\theta)\frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{multline*} Luego simplificado por propiedades trigonométricas encontramos que el gradiente en coordenadas esféricas es: \begin{align} \nabla \psi &= \frac{\partial \psi}{\partial r}\hat{a}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\hat{a}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\hat{a}_\phi \end{align} Para determinar el laplaciano en coordenadas esféricas efectuamos el gradiente del gradiante de $r$ empleando el operador nabla para coordenadas esféricas. \begin{align*} \nabla \cdot \nabla\psi &= \left(\frac{\partial }{\partial r}\hat{a}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}\hat{a}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \phi}\hat{a}_\phi\right)\cdot \nabla\psi\\ \end{align*} Realizando las operaciones del producto punto obtenemos. \begin{align*} \nabla^{2}\psi &= \left(\frac{\partial\nabla\psi }{\partial r}\hat{a}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial\nabla\psi }{\partial \theta}\hat{a}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \nabla\psi}{\partial \phi}\hat{a}_\phi\right)\\ \end{align*} Realizando las derivadas parciales de las bases \begin{multline} =\hat{a}_r\left[\hat{a}_r\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_r }{\partial r \partial r} +\frac{\hat{a}_\theta}{r}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r \partial \theta} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\theta }{\partial r \partial \theta}+ \frac{\hat{a}_\phi}{r\sin\theta}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial r \partial \phi}\right]\\ \frac{\hat{a}_\theta}{r}\left[\hat{a}_r\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \theta \partial r}+\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_r} }{\partial r{\partial \theta}} +\frac{\hat{a}_\theta}{r}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \theta^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\theta }{\partial \theta \partial \theta}+ \frac{\hat{a}_\phi}{r\sin\theta}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \theta \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial \theta \partial \phi}\right]\\ \hat{a}_\phi\left[\hat{a}_ r\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi\partial r}+\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_ r} }{\partial r\}{\partial \phi}} +\frac{\hat{a}_\theta}{ r}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi \partial \theta} +\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_\theta }}{ \partial \theta {\partial \phi}}+ \hat{a}_\phi\frac{\partial^{2} \psi}{ \partial \phi^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{ \partial \phi \partial \phi}\right] \end{multline} Realizando las operaciones de las derivadas parciales en las bases unitarias obtenemos: \begin{align*} \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \phi}&= -\cos\phi\hat{a}_x-\sin\phi\hat{a}_y &\frac{\partial \hat{a}_r }{\partial r}&= 0 \\ {\frac{\partial \hat{a}_\theta }{\partial \phi}}&= -\sin\phi\cos\theta\hat{a}_x+\cos\phi\sin\theta\hat{a}_y=\cos\theta\hat{a}_\phi& \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \theta}&= 0 \\{\frac{\partial \hat{a}_r }{\partial \theta}}&= \cos\theta\cos\phi\hat{a}_x+\cos\theta\sin\phi\hat{a}_y-\sin\theta\hat{a}_z=\hat{a}_\phi &\frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \theta}&= 0 \\ \frac{\partial \hat{a}_\theta }{\partial \theta}&= -\sin\theta\cos\phi\hat{a}_x-\sin\theta\sin\phi\hat{a}_y-\cos\theta\hat{a}_z=-\hat{a}_r \\ {\frac{\partial \hat{a}_r }{\partial {\phi}}}&= -\sin\theta\sin\phi\hat{a}_x+\sin\theta\cos\phi\hat{a}_y=\sin\theta\hat{a}_\phi \end{align*} Reemplazando las derivadas parciales en ec.(31), y por medio del producto punto entre bases ortogonales se simplifica obteniendo: \begin{align} \begin{split} \nabla^{2}\psi&=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\phi^{2}}\\ \nabla^{2}\psi&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^{2}\frac{\partial \psi}{\partial r}\right]+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left[\sin\theta\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right]+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\phi^{2}} \end{split} \end{align} $\therefore$ Hemos encontrando los laplacianos en cada sistema de coordenadas. $\LaTeX$

Laplaciano coordenadas cilindricas

Coordenadas cilíndricas

Las coordenadas cilíndricas se emplean cuando el objeto de estudio que describe una trayectoria o su forma geométrica son cilíndricas, para deducir estas coordenadas partimos de las coordenadas cartesianas.

Tomada de Teoría electromagnética Hayt, Buck, Cordero.

 Sí Observamos la figura  podemos obtener las relaciones geométricas para realizar el cambio de coordenadas, tomemos una función $\psi$.

 \begin{align} \psi &= x\hat{a}_x+y\hat{a}_y+z\hat{a}_z \label{eqn:psi} \end{align} \begin{align} x &= \rho\cos\phi, & y &= \rho\sin\phi, & z &= z \label{eqn:esf} \end{align}

Reemplazando las variables x, y, z en la ecuación $\psi$. 

\begin{align} \psi &= \rho\cos\phi \hat{a}_x+\rho\sin\phi \hat{a}_y+z\hat{a}_z \label{eqn:psi1} \end{align} 

Ahora para pasar la base unitarias cartesiana a una base unitaria cilíndrica debemos recordar la definición de vector unitario $b=\frac{B}{|B|}$, para obtener la base propia de las coordenadas esféricas $\hat{a}_{\rho},\hat{a}_\phi,\hat{a}_z$.

 Luego si observamos la figura  podemos observar que hay una contribución diferencial en la componente $\phi$ y $\rho$ sobre $\psi$. 

\begin{align*} \hat{a}_\rho &=\displaystyle \frac{\frac{\partial \psi}{\partial \rho}}{\left|\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\right|}, & \hat{a}_\phi &= \frac{ \frac{\partial \psi}{\partial \phi}}{\left| \frac{\partial \psi}{\partial \phi}\right|}, & \hat{a}_z&= \hat{a}_z \end{align*}

Derivando parcialmente nuestra función $psi$ tenemos:

Derivada parcial respecto $\rho$. 

\begin{align*} \hat{a}_\rho &=\displaystyle \frac{\frac{\partial \psi}{\partial \rho}}{\left|\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\right|}, & \frac{\partial \psi}{\partial \rho}&= \cos\phi \hat{a}_x+\sin\phi \hat{a}_y, & \displaystyle \left|\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\right|&= \sqrt{\cos^2\phi +\sin^2\phi }=1\\ \hat{a}_\rho &= \cos\phi \hat{a}_x+\sin\phi \hat{a}_y \end{align*} Derivada parcial respecto $\phi$. \begin{align*} \hat{a}_\phi &=\displaystyle \frac{\frac{\partial \psi}{\partial \phi}}{\left|\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\right|}, & \frac{\partial \psi}{\partial \phi}&= -\rho\sin\phi \hat{a}_x+\rho\cos\phi \hat{a}_y, & \displaystyle \left|\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\right|&= \sqrt{\rho^2\sin^2\phi +\rho^2\cos^2\phi }=\rho\\ \hat{a}_\phi &= -\sin\phi \hat{a}_x+\cos\phi \hat{a}_y \end{align*}

 Reemplazando $\hat{a}_\phi, \hat{a}_\rho$ en ec $\psi$: \begin{align} \psi &= \rho \hat{a}_\rho+z\hat{a}_z \end{align} 

Para obtener el gradiente de $\psi$ en coordenadas cilíndricas se plantea dos sistemas de ecuaciones, donde se hará uso de la matriz inversa para realizar el cambio de base de la definición de gradiente en coordenadas cartesianas.

Tomando el primer sistema a partir de las bases unitarias cilíndricas.

\begin{align*}\begin{matrix}\hat{a}_\rho =& \cos\phi\hat{a}_x+\sin\phi \hat{a}_y\\ \hat{a}_\phi =& -\sin\phi\hat{a}_x+\cos\phi\hat{a}_y\end{matrix}\\ \end{align*} 

Expresando el sistemas de ec.1 de forma matricial tenemos:

 \begin{align} \begin{split}\underbrace{\left(\begin{matrix} \hat{a}_\rho \\ \hat{a}_\phi \end{matrix}\right)}_{b}&= \underbrace{\left(\begin{matrix} \cos\phi & sin\phi \\ -\sin\phi & \cos\phi \end{matrix}\right)}_{A} \underbrace{\left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \end{matrix}\right)}_{X} \end{split} \end{align}

Luego solucionando este sistema de ecuaciones por el método de matriz inversa $X=A^{-1}b$, sabemos que la inversa de una matriz es $A^{-1}=\frac{adj(A)^{t}}{\left |A \right |}$, donde $adj_{ij}=(-1)^{i+j}\left |A_{ij} \right |$.

Haciendo cada una de estas operaciones sobre la matriz $A$, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones.

 \begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{a}_\rho \\ \hat{a}_\phi \end{matrix}\right) \end{split} \end{align} Sabemos del calculo que la derivada de una función de varias variables como lo es $\psi(r)$: \begin{align} \begin{split} \frac{\partial \psi}{\partial \rho}=\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \rho}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \rho}+\frac{\partial \psi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \rho}\\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi}=\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \rho}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \phi}+\frac{\partial \psi}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \phi} \end{split} \end{align} 

Ahora  planteamos otro sistema de ecuaciones que se resolver por el método ya explicado, obteniendo: 

\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial \rho} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi & sin\phi \\ -\rho\sin\phi & \rho\cos\phi \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}

 Luego la solución a este sistema de ecuaciones esta dado como: 

\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi & \frac{-\sin\phi}{\rho} \\ \sin\phi & \frac{\cos\phi}{\rho} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial \rho} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}

Retomando la definición de gradiente en coordenadas cartesianas (blog Laplaciano coordenadas cartesianas) se reemplazan los valores para las derivadas parciales y las bases de forma cartesiana, por tanto reescribiendo la que describe tenemos:

\begin{multline*} \nabla \psi = (\hat{a}_\rho \cos\phi-\hat{a}_\phi \sin\phi) \left[\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\cos\phi -\frac{\partial \psi}{\partial\phi}\frac{\sin\phi}{\rho}\right]+(\hat{a}_\rho\sin\phi+\hat{a}_\phi\cos\phi)\left[\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\sin\phi +\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{\cos\phi}{\rho}\right]\\+\frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z \end{multline*} \begin{multline*} \nabla \psi = \hat{a}_\rho \cos^{2}\phi\frac{\partial \psi}{\partial \rho}-{\hat{a}_\rho \cos\phi\frac{\sin\phi}{\rho} \frac{\partial \psi}{\partial\phi}} {-\hat{a}_\phi \sin\phi\cos\phi\frac{\partial \psi}{\partial\rho}}+\hat{a}_\phi\frac{\sin^{2}\phi}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial\phi}+\\ \hat{a}_\rho\sin^{2}\phi\frac{\partial \psi}{\partial\rho}+{\hat{a}_\rho\sin\phi\frac{\cos\phi}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}}+{\hat{a}_\phi \sin\phi\cos\phi\frac{\partial \psi}{\partial\rho}}+ \hat{a}_\phi\frac{\cos^{2}\phi}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \phi} +\frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z \end{multline*} 

Agrupando y aplicando la propiedad trigonométrica $\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$ obtenemos que el gradiente en coordenadas cilíndricas es: 

\begin{align} \nabla \psi &=\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\hat{a}_\rho+ \frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\hat{a}_\phi+ \frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z \end{align}

Partiendo del gradiente en coordenadas esféricas y de la definición de laplaciano (blog L.c.cartesianas) tenemos entonces que:

 \begin{align}\nabla \cdot \nabla \psi&=\hat{a}_\rho\frac{\partial \nabla \psi}{\partial \rho}+\hat{a}_\phi\frac{1}{\rho}\frac{\partial \nabla \psi}{\partial \phi}+ \hat{a}_z \frac{\partial \nabla \psi}{\partial z}\end{align}

Expandiendo el producto punto y realizando las operaciones de derivación obtenemos.

\begin{multline} =\hat{a}_\rho\left[\hat{a}_\rho\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\rho }{\partial \rho \partial \rho} +\frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial \rho \partial \phi}+ \hat{a}_z\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho \partial z} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_z }{\partial \rho \partial z}\right]+\\ \frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\left[\hat{a}_\rho\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi \partial \rho}+\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_\rho} }{\partial \rho{\partial \phi}} +\frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial \phi \partial \phi}+ \hat{a}_z\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi \partial z} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_z }{\partial \phi \partial z}\right]\\+ \hat{a}_z\left[\hat{a}_\rho\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z\partial \rho}+\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\rho }{\partial z \partial \rho} +\frac{\hat{a}_\phi}{\rho}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial z \partial \phi}+ \hat{a}_z\frac{\partial^{2} \psi}{\partial z^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_z }{\partial z \partial z}\right] \end{multline} 

Realizando cada producto punto entre las bases unitarias y calculando las derivadas parciales de cada una de las bases unitarias en coordenadas cilíndricas y posteriormente reemplazando en la expresión anterior, se obtiene una simplificación significativa, ya que por delta de Kronecker se hacen cero algunos términos.

 \begin{align*} \frac{\partial \hat{a}_\rho }{\partial \rho}&= 0 & {\frac{\partial \hat{a}_\rho }{\partial \phi}}&= -\sin\phi+\cos\phi =\hat{a}_\phi & \frac{\partial \hat{a}_\rho }{\partial z}&= 0\\ \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \rho}&= 0, & \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \phi}&= -\cos\phi-\sin\phi=-\hat{a}_\rho & \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial z}&= 0\\ \frac{\partial \hat{a}_z }{\partial \rho}&= 0, & \frac{\partial \hat{a}_z }{\partial \phi}&= 0 & \frac{\partial \hat{a}_z }{\partial z}&= 0 \end{align*}

 Luego de simplificar aplicando propiedades obtenemos el laplaciano en coordenadas cilíndricas: \begin{align} \begin{split} \nabla^{2}\psi &= \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \rho^{2}} +\frac{1}{\rho}\frac{\partial \psi}{\partial \rho}\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial \psi}{\partial z^2}\\ \nabla^{2}\psi &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left[\frac{\rho\partial \psi}{\partial \rho}\right]+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial \psi}{\partial z^2}\\ \end{split} \end{align}

Esta ultima expresión se obtiene al deshacer la derivada parcial respecto de rho.
 

Referencias

Hayt, W. H., Buck, J. A., & Pedraza, C. R. C. (2006). Teoría electromagnética. McGraw-Hill.
  $\LaTeX$

Laplaciano coordenadas cartesianas

Sistemas de coordenadas vectoriales

Los sistemas de coordenadas son estructuras de análisis  geométricas que permiten determinar la posición de un punto o de un objeto geométrico, existen varios sistemas de coordenadas como: coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas.
Una propiedad de los campos vectoriales  relacionada con la variación de cada una de sus componentes espaciales  es el vector gradiente $\nabla$ denotado como:
$$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z$$

El vector gradiente actúa como un operador vectorial sobre una función escalar indicando la magnitud de máxima razón de cambio apuntando en la dirección donde se encuentra dicho punto, este operador es valido para cada uno de los sistemas coordenados.
$$\nabla \psi = \left[\frac{\partial \psi}{\partial x}\hat{a}_x, \frac{\partial \psi}{\partial y}\hat{a}_y, \frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z\right]$$
$$\nabla \psi = \left[\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z\right] \psi$$

Existen operadores vectoriales de segundo orden uno  de estos es el laplaciano de una función escalar definido como la divergencia del gradiente de un campo escalar producto punto del gradiente.
$$\nabla \cdot \nabla = \nabla^2$$

Coordenadas cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas, es un sistema rectangular con bases unitarias rectangulares que permite representar funciones.

Teniendo en cuenta el sistema de referencia se define un vector posición con base unitaria $\hat{a}_x.\hat{a}_y,\hat{a}_z$.


 \begin{align}
r &= x\hat{a}_x+y\hat{a}_y+z\hat{a}_z
\label{eqn:r}
\end{align}

Para expresar la distancia entre dos vectores denotados como $P(1,2,3)$ y $Q(2,-2.1)$ se expresa como $R_{PQ}$.
$$R_{PQ} = (\hat{a}_x+2\hat{a}_y+3\hat{a}_z)-(2\hat{a}_x-2\hat{a}_y+\hat{a}_z)   $$
Sabemos que las operaciones aritméticas vectoriales solo son validas entre vectores unitarios de la misma base, esto se puede observar con mayor detalle en la figura 1.
$$R_{PQ} = \hat{a}_x+6\hat{a}_y+2\hat{a}_z   $$

Retomando la base unitaria, es decir un vector cuya magnitud es igual a la unidad y crece en dirección al eje ordenado vemos que el producto punto entre ellos es:
 \begin{align}
\hat{a}_x\cdot \hat{a}_x &= 1 ,& \hat{a}_x\cdot \hat{a}_y &= 0 \Rightarrow \bot\\
\hat{a}_y\cdot \hat{a}_y &= 1 ,& \hat{a}_x\cdot \hat{a}_z &= 0  \Rightarrow \bot\\
\hat{a}_z\cdot \hat{a}_z &= 1 ,&  \hat{a}_y\cdot \hat{a}_z &= 0  \Rightarrow \bot
\end{align}
Estos resultados se obtienen de la definición de producto punto $A\cdot B= |A||B|\cos\theta_{AB}$.
Por otro lado si introduciendo la función delta de Kronecker  que vale 1, sí son iguales o 0 sí son distintos.
 \begin{align}
\hat{a}_i\cdot \hat{a}_j &= \delta_{ij}
&&\begin{aligned}
0 &  , &  i &\not = j              \\
1 &  , &  i&= j
\end{aligned}
\end{align}
 Aplicando los operadores vectoriales nabla y laplaciano en coordenadas cartesianas en l, como sabemos que está es de carácter vectorial se debe tener presente las relaciones delta de Kronecker para obtener una la expresión diferencial de la divergencia:
 \begin{align}
 \nabla \cdot r &= \left[\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z\right] \cdot r\\
 \nabla \cdot r &=\left[\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z\right] \cdot x\hat{a}_x+y\hat{a}_y+z\hat{a}_z
 \end{align}
  Expandiendo el producto punto obtenemos:

 \begin{multline}
 \nabla \cdot r =\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x x\hat{a}_x+\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_xy\hat{a}_y+\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_xz\hat{a}_z+\frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y x\hat{a}_x+\frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_yy\hat{a}_y+\frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_yz\hat{a}_z\\+\frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z  x\hat{a}_x+\frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_zy\hat{a}_y+\frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_zz\hat{a}_z
 \end{multline}
 Aplicando la función delta de Kronecker obtenemos entonces que la divergencia de r es:
 \begin{align}
 \nabla \cdot r &= x\frac{\partial}{\partial x}+ y\frac{\partial}{\partial y}+z\frac{\partial}{\partial z}\\
 \nabla \cdot r &= \frac{\partial r}{\partial x}+ \frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z}
 \label{eqn:r_G}
 \end{align}
 La expresión para el gradiente es muy similar solo que es de carácter vectorial indicando la dirección de los cambios infinitesimales en dicha posición.
  \begin{align}
 \nabla r &= \frac{\partial r}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial r}{\partial y}\hat{a}_y+\frac{\partial r}{\partial z}\hat{a}_z
 \end{align}

 Una propiedad vectorial expresa que el producto punto entre el operador nabla y el gradiente de una función r se obtiene el laplaciano lo que se puede expresar también como la divergencia del gradiente, indicando si el flujo de una cantidad diverge o converge en dicho punto en el espacio, que físicamente se puede interpretar como una fuente o sumidero dependiendo de los valores que tome.
 \begin{align}
 \nabla \cdot (\nabla r) &= \nabla^2r\\
 \nabla^2r &=  \frac{\partial^2 r}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 r}{\partial z^2}
 \label{eqn:r:lapla}
 \end{align}




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