Laplaciano coordenadas esféricas

Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas es un caso más general ya que tiene en cuenta las contribuciones angulares azimutuales al momento de describir los movimientos. Para deducir el sistema de coordenadas partimos del sistema de coordenadas cilíndrico haciendo la proyección de un vector $\rho$ en el plano z igual cero. $$\begin{align} \psi = \rho \cos\phi\hat{a}_x+\rho\sin\phi\hat{a}_y+z\hat{a}_z \end{align}$$ luego las componentes del vector $r$ se pueden expresar como: $$\begin{align*} \sin\theta&=\frac{\rho}{r} \rightarrow \rho=r\sin\theta\\ \cos\theta&=\frac{z}{r} \rightarrow z=r\cos\theta \end{align*}$$ Reescribiendo la ecuacion de posición en coordenadas esféricas obtenemos: $$\begin{align} \psi &= r\sin\theta\cos\phi\hat{a}_x+r\sin\theta\sin\phi\hat{a}_y+r\cos\theta\hat{a}_z \end{align}$$ Siguiendo el mismo procedimiento que en las bases cilíndricas obtenemos: $$\begin{align} \begin{split} \hat{a}_r&=\sin\theta\cos\phi\hat{a}_x+\sin\theta\sin\phi\hat{a}_y+\cos\theta\hat{a}_z\\ \hat{a}_\phi&=-\sin\phi\hat{a}_x+\cos\phi\hat{a}_y\\ \hat{a}_\theta&=\cos\theta\cos\phi\hat{a}_x+\cos\theta\sin\phi-\sin\theta\hat{a}_z \end{split} \end{align}$$ Luego obtenemos nuestro sistema de ecuaciones para las bases unitarias en coordenadas esféricas. $$\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\phi \\ \hat{a}_\theta \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos \phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\ -\sin\phi &\cos\phi&0\\ \cos\theta\cos\phi &\cos\theta\sin\phi & -\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}$$ Luego la solución al sistema de ecuaciones de bases por el método de la inversa es: $$\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \hat{a}_x \\ \hat{a}_y \\ \hat{a}_z \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \cos\phi\sin\theta &\sin\phi &\cos\theta\cos\phi\\ \sin\phi\sin\theta &\cos\phi &\cos\theta\sin\phi\\ \cos\theta &0 &-\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{a}_r \\ \hat{a}_\phi \\ \hat{a}_\theta \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}$$ Siguiendo el mismo esquema de trabajo que en el blog de coordenadas cilíndricas obtenemos otro sistema de ecuaciones de orden tres. Nuestro sistema de ecuaciones de derivadas parciales: $$\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial r} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi}\\ \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos\phi&\sin\theta\sin\phi&\cos\theta\\ -r\sin\theta\sin\phi & r\sin\theta\cos\phi&0\\ r\cos\theta\cos\phi&r\cos\theta\sin\phi&-r\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}$$ Por tanto la solución a este sistema de derivadas parciales es: $$\begin{align} \begin{split}\left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial x} \\ \frac{\partial \psi}{\partial y}\\ \frac{\partial \psi}{\partial z} \end{matrix}\right)&= \left(\begin{matrix} \sin\theta\cos\phi&-\frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}&\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\\ \sin\theta\sin\phi & \frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}&\frac{1}{r}\sin\phi\cos\theta\\ \cos\theta&0&-\frac{1}{r}\sin\theta \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \frac{\partial \psi}{\partial r} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \\ \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{matrix}\right) \end{split} \end{align}$$ Ahora reemplazando en la definición de gradiente para coordenadas cartesianas obtenemos: $$\begin{multline*} \nabla \psi =(\cos\phi\sin\theta\hat{a}_r-\sin\phi\hat{a}_\phi+\cos\theta\cos\phi\hat{a}_\theta)\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}\sin\theta\cos\phi-\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{1}{r}\cos\theta\cos\phi\right]\\+ (\sin\phi\sin\theta\hat{a}_r +\cos\phi\hat{a}_\phi+\cos\theta\sin\phi\hat{a}_\theta)\left[\frac{\partial \psi}{\partial r} \sin\theta\sin\phi +\frac{\partial \psi}{\partial \phi} \frac{1}{r}\frac{\cos\phi}{\sin\theta}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{1}{r}\sin\phi\cos\theta\right]\\+(\cos\theta\hat{a}_r-\sin\theta\hat{a}_\theta)\left[\frac{\partial \psi}{\partial r}\cos\theta-\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\frac{1}{r}\sin\theta \right] \end{multline*}$$ $$\begin{multline*} \nabla \psi =(\cos\phi^{2}\sin^{2}\theta+\sin^{2}\phi\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\hat{a}_r+({\sin\theta\cos\phi\sin\phi}-{\sin\theta\cos\phi\sin\phi})\hat{a}_\phi+\\ ({\cos^{2}\phi\cos\theta\sin\theta}+{\sin^{2}\sin\theta\cos\theta}-{\cos\theta\sin\theta})\hat{a}_\theta)\frac{\partial \psi}{\partial r}+ \left(\left({\frac{1}{r}\cos\phi\sin\phi}-{\frac{1}{r}\cos\phi\sin\phi}\right)\hat{a}_r\\ +\left(\frac{1}{r}\frac{\sin^{2}}{\sin\theta}+\frac{1}{r}\frac{\cos^{2}}{\sin\theta}\right) \hat{a}_\phi+\left({\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cos\phi\sin\phi}-{\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\cos\phi\sin\phi})\hat{a}_\theta\right)\frac{\partial \psi}{\partial \phi} +\\(({\frac{1}{r}\cos^{2}\phi\cos\theta\sin\theta+\frac{1}{r}\sin^{2}\phi\cos\theta\sin\theta}-{\cos\theta\sin\theta}\right)\hat{a}_r+\left({\frac{1}{r}\cos\phi\sin\theta\cos\theta}-{\frac{1}{r}\cos\phi\sin\theta\cos\theta} \right)\hat{a}_\phi+ \left(\frac{1}{r}\cos^{2}\phi\cos^{2}\theta+\frac{1}{r}\sin^{2}\phi\cos^{2}\theta+\frac{1}{r}\sin^{2}\theta \right)\hat{a}_\theta)\frac{\partial \psi}{\partial \theta} \end{multline*}$$ Luego simplificado por propiedades trigonométricas encontramos que el gradiente en coordenadas esféricas es: $$\begin{align} \nabla \psi &= \frac{\partial \psi}{\partial r}\hat{a}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\hat{a}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \psi}{\partial \phi}\hat{a}_\phi \end{align}$$ Para determinar el laplaciano en coordenadas esféricas efectuamos el gradiente del gradiante de $r$ empleando el operador nabla para coordenadas esféricas. $$\begin{align*} \nabla \cdot \nabla\psi &= \left(\frac{\partial }{\partial r}\hat{a}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta}\hat{a}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \phi}\hat{a}_\phi\right)\cdot \nabla\psi\\ \end{align*}$$ Realizando las operaciones del producto punto obtenemos. $$\begin{align*} \nabla^{2}\psi &= \left(\frac{\partial\nabla\psi }{\partial r}\hat{a}_r+\frac{1}{r}\frac{\partial\nabla\psi }{\partial \theta}\hat{a}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \nabla\psi}{\partial \phi}\hat{a}_\phi\right)\\ \end{align*}$$ Realizando las derivadas parciales de las bases $$\begin{multline} =\hat{a}_r\left[\hat{a}_r\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r^{2}}+\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_r }{\partial r \partial r} +\frac{\hat{a}_\theta}{r}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r \partial \theta} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\theta }{\partial r \partial \theta}+ \frac{\hat{a}_\phi}{r\sin\theta}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial r \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial r \partial \phi}\right]\\ \frac{\hat{a}_\theta}{r}\left[\hat{a}_r\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \theta \partial r}+\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_r} }{\partial r{\partial \theta}} +\frac{\hat{a}_\theta}{r}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \theta^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\theta }{\partial \theta \partial \theta}+ \frac{\hat{a}_\phi}{r\sin\theta}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \theta \partial \phi} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{\partial \theta \partial \phi}\right]\\ \hat{a}_\phi\left[\hat{a}_ r\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi\partial r}+\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_ r} }{\partial r\}{\partial \phi}} +\frac{\hat{a}_\theta}{ r}\frac{\partial^{2} \psi}{\partial \phi \partial \theta} +\psi\frac{\partial{\partial\hat{a}_\theta }}{ \partial \theta {\partial \phi}}+ \hat{a}_\phi\frac{\partial^{2} \psi}{ \partial \phi^{2}} +\psi\frac{\partial^{2}\hat{a}_\phi }{ \partial \phi \partial \phi}\right] \end{multline}$$ Realizando las operaciones de las derivadas parciales en las bases unitarias obtenemos: $$\begin{align*} \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \phi}&= -\cos\phi\hat{a}_x-\sin\phi\hat{a}_y &\frac{\partial \hat{a}_r }{\partial r}&= 0 \\ {\frac{\partial \hat{a}_\theta }{\partial \phi}}&= -\sin\phi\cos\theta\hat{a}_x+\cos\phi\sin\theta\hat{a}_y=\cos\theta\hat{a}_\phi& \frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \theta}&= 0 \\{\frac{\partial \hat{a}_r }{\partial \theta}}&= \cos\theta\cos\phi\hat{a}_x+\cos\theta\sin\phi\hat{a}_y-\sin\theta\hat{a}_z=\hat{a}_\phi &\frac{\partial \hat{a}_\phi }{\partial \theta}&= 0 \\ \frac{\partial \hat{a}_\theta }{\partial \theta}&= -\sin\theta\cos\phi\hat{a}_x-\sin\theta\sin\phi\hat{a}_y-\cos\theta\hat{a}_z=-\hat{a}_r \\ {\frac{\partial \hat{a}_r }{\partial {\phi}}}&= -\sin\theta\sin\phi\hat{a}_x+\sin\theta\cos\phi\hat{a}_y=\sin\theta\hat{a}_\phi \end{align*}$$ Reemplazando las derivadas parciales en ec.(31), y por medio del producto punto entre bases ortogonales se simplifica obteniendo: $$\begin{align} \begin{split} \nabla^{2}\psi&=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial r^{2}}+\frac{2}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{\cos\theta}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial\psi}{\partial\theta}+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\phi^{2}}\\ \nabla^{2}\psi&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left[r^{2}\frac{\partial \psi}{\partial r}\right]+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left[\sin\theta\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right]+\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\phi^{2}} \end{split} \end{align}$$ $\therefore$ Hemos encontrando los laplacianos en cada sistema de coordenadas. $\LaTeX$