Sistemas de coordenadas vectoriales
Los sistemas de coordenadas son estructuras de análisis geométricas que permiten determinar la posición de un punto o de un objeto geométrico, existen varios sistemas de coordenadas como: coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas.
Una propiedad de los campos vectoriales relacionada con la variación de cada una de sus componentes espaciales es el vector gradiente $\nabla$ denotado como:
$$\nabla = \frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z$$
El vector gradiente actúa como un operador vectorial sobre una función escalar indicando la magnitud de máxima razón de cambio apuntando en la dirección donde se encuentra dicho punto, este operador es valido para cada uno de los sistemas coordenados.
$$\nabla \psi = \left[\frac{\partial \psi}{\partial x}\hat{a}_x, \frac{\partial \psi}{\partial y}\hat{a}_y, \frac{\partial \psi}{\partial z}\hat{a}_z\right]$$
$$\nabla \psi = \left[\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z\right] \psi$$
Existen operadores vectoriales de segundo orden uno de estos es el laplaciano de una función escalar definido como la divergencia del gradiente de un campo escalar producto punto del gradiente.
$$\nabla \cdot \nabla = \nabla^2$$
Coordenadas cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas, es un sistema rectangular con bases unitarias rectangulares que permite representar funciones.
Teniendo en cuenta el sistema de referencia se define un vector posición con base unitaria $\hat{a}_x.\hat{a}_y,\hat{a}_z$.
\begin{align}
r &= x\hat{a}_x+y\hat{a}_y+z\hat{a}_z
\label{eqn:r}
\end{align}
Para expresar la distancia entre dos vectores denotados como $P(1,2,3)$ y $Q(2,-2.1)$ se expresa como $R_{PQ}$.
$$R_{PQ} = (\hat{a}_x+2\hat{a}_y+3\hat{a}_z)-(2\hat{a}_x-2\hat{a}_y+\hat{a}_z) $$
Sabemos que las operaciones aritméticas vectoriales solo son validas entre vectores unitarios de la misma base, esto se puede observar con mayor detalle en la figura 1.
$$R_{PQ} = \hat{a}_x+6\hat{a}_y+2\hat{a}_z $$
Retomando la base unitaria, es decir un vector cuya magnitud es igual a la unidad y crece en dirección al eje ordenado vemos que el producto punto entre ellos es:
\begin{align}
\hat{a}_x\cdot \hat{a}_x &= 1 ,& \hat{a}_x\cdot \hat{a}_y &= 0 \Rightarrow \bot\\
\hat{a}_y\cdot \hat{a}_y &= 1 ,& \hat{a}_x\cdot \hat{a}_z &= 0 \Rightarrow \bot\\
\hat{a}_z\cdot \hat{a}_z &= 1 ,& \hat{a}_y\cdot \hat{a}_z &= 0 \Rightarrow \bot
\end{align}
Estos resultados se obtienen de la definición de producto punto $A\cdot B= |A||B|\cos\theta_{AB}$.
Por otro lado si introduciendo la función delta de Kronecker que vale 1, sí son iguales o 0 sí son distintos.
\begin{align}
\hat{a}_i\cdot \hat{a}_j &= \delta_{ij}
&&\begin{aligned}
0 & , & i &\not = j \\
1 & , & i&= j
\end{aligned}
\end{align}
Aplicando los operadores vectoriales nabla y laplaciano en coordenadas cartesianas en l, como sabemos que está es de carácter vectorial se debe tener presente las relaciones delta de Kronecker para obtener una la expresión diferencial de la divergencia:
\begin{align}
\nabla \cdot r &= \left[\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z\right] \cdot r\\
\nabla \cdot r &=\left[\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y+ \frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z\right] \cdot x\hat{a}_x+y\hat{a}_y+z\hat{a}_z
\end{align}
Expandiendo el producto punto obtenemos:
\begin{multline}
\nabla \cdot r =\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_x x\hat{a}_x+\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_xy\hat{a}_y+\frac{\partial}{\partial x}\hat{a}_xz\hat{a}_z+\frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_y x\hat{a}_x+\frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_yy\hat{a}_y+\frac{\partial}{\partial y}\hat{a}_yz\hat{a}_z\\+\frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_z x\hat{a}_x+\frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_zy\hat{a}_y+\frac{\partial}{\partial z}\hat{a}_zz\hat{a}_z
\end{multline}
Aplicando la función delta de Kronecker obtenemos entonces que la divergencia de r es:
\begin{align}
\nabla \cdot r &= x\frac{\partial}{\partial x}+ y\frac{\partial}{\partial y}+z\frac{\partial}{\partial z}\\
\nabla \cdot r &= \frac{\partial r}{\partial x}+ \frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z}
\label{eqn:r_G}
\end{align}
La expresión para el gradiente es muy similar solo que es de carácter vectorial indicando la dirección de los cambios infinitesimales en dicha posición.
\begin{align}
\nabla r &= \frac{\partial r}{\partial x}\hat{a}_x+ \frac{\partial r}{\partial y}\hat{a}_y+\frac{\partial r}{\partial z}\hat{a}_z
\end{align}
Una propiedad vectorial expresa que el producto punto entre el operador nabla y el gradiente de una función r se obtiene el laplaciano lo que se puede expresar también como la divergencia del gradiente, indicando si el flujo de una cantidad diverge o converge en dicho punto en el espacio, que físicamente se puede interpretar como una fuente o sumidero dependiendo de los valores que tome.
\begin{align}
\nabla \cdot (\nabla r) &= \nabla^2r\\
\nabla^2r &= \frac{\partial^2 r}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 r}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 r}{\partial z^2}
\label{eqn:r:lapla}
\end{align}
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